Формула Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка

В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения

Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.

• Если все грани целочисленного многогранника [math]\displaystyle{ M }[/math] центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле

  [math]\displaystyle{ V(M)=\tfrac1{4\pi}\cdot\sum_v \alpha(v), }[/math]

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам [math]\displaystyle{ v\in M }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha(v) }[/math] телесный угол [math]\displaystyle{ M }[/math] при [math]\displaystyle{ v }[/math]; если [math]\displaystyle{ v }[/math] лежит внутри [math]\displaystyle{ M }[/math], то считается что [math]\displaystyle{ \alpha(v)=4\cdot\pi }[/math].

• Аналогичное утверждение верно и в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb{E}^n }[/math]

[math]\displaystyle{ V(M)=\tfrac1{\omega_n}\cdot\sum_v \alpha(v), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega_n }[/math] обозначает площадь единичной сферы в [math]\displaystyle{ \mathbb{E}^n }[/math].

Литература

• В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
• А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.